1 引言

　　作為光束指向控制的核心器件，快速反射鏡(fast steering mirror, FSM)廣泛應用于空間激光通信、機載光電載荷、太空望遠鏡等，用于實現視軸穩定、像移補償和精確跟蹤等功能。以空間激光通信為例，FSM 的性能對激光光束的傳輸與接收起著至關重要的作用，然而空間環境中 FSM 的工作條件比較惡劣，容易導致傳感器和執行器發生故障，進而影響激光光束的準確傳輸與接收，最終使整個空間激光通信系統無法正常工作，造成嚴重損失。FSM 的故障可分為恒偏差、卡死和恒增益等，其中最為典型也最為普遍的是恒偏差故障，例如 FSM 執行器柔性軸疲勞磨損、松動和彎曲變形，傳感器受到磁場干擾、振動和溫度變化等均會導致恒偏差故障。因此對 FSM 進行恒偏差故障檢測，提高系統的可靠性，成為當前亟需解決的問題。

　　目前，故障診斷的方法主要包括定性分析方法和定量分析方法。定性分析方法主要有圖論法、專家系統和定性仿真。定量分析方法則包括基于解析模型的方法和基于數據的方法。定量分析方法可以提供較高的準確性，基于解析模型的方法可以精確地檢測故障，減少誤判和漏判，本文重點研究通過模型來對 FSM 進行故障診斷。

　　文獻 [5] 提出了一種 FSM 的故障診斷方法，但其只考慮了單軸的 FSM 故障情況，且只考慮了傳感器故障，具有一定的局限性。目前對于 FSM 故障診斷的研究還相對較少，現有的故障診斷方法無法滿足其故障診斷的需求。文獻 [6] 針對線性時不變系統，構造出一種全階線性觀測器，通過 H 和 H∞范數來降低外界擾動的影響，增大系統對故障的靈敏度，雖然結果能夠驗證系統的故障情況，但是生成的殘差收斂性較差，不利于系統故障的檢測。文獻 [7] 針對時不變系統，提出了一種觀測器，但是觀測器增益矩陣和權重矩陣均是通過黎卡提(Riccati)方程求解得到的，觀測器的設計有偏差。文獻 [8] 針對線性系統，設計了一種故障診斷濾波器，但濾波器僅設計了觀測器增益矩陣，沒有考慮殘差權重矩陣，降低了對故障的靈敏度以及檢測精度。文獻 [9] 針對線性時不變系統，提出了一種魯棒故障檢測觀測器的設計方法，通過對 H2/H∞范數進行設計，來降低外界擾動的影響，增大系統對故障的靈敏度，并采用評價函數對故障結果進行評價，該方法能夠實現對模型相對簡單系統的故障診斷，但對于兩軸耦合的 FSM 系統來進行故障診斷時不適用。

　　對于基于模型的故障診斷方法，精確的數學模型是故障診斷的前提和關鍵。FSM 一般采用柔性軸支撐結構，沒有固定的旋轉軸系，容易引起機械諧振，導致其難以精確建模。FSM 常用的模型辨識方法有 Levy 算法、Levenberg-Marquardt 算法、改進最小二乘法和子空間模型辨識方法等，但上述辨識方法都是在假定模型結構的基礎上，通過極小化模型與系統之間的誤差指標來估計模型的參數，因此設置誤差指標時很難直接考慮柔性諧振模態。由脈沖響應構造的 Hankel 矩陣可以確定模型的階次和參數，系統的模態和 Hankel 矩陣的奇異值是一一對應的，因此對 Hankel 矩陣進行奇異值分解，可以確定模型階次，進而通過特征系統實現算法確定模型參數。

　　為了實現對兩軸 FSM 系統的故障檢測，本文提出了一種基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)的故障觀測器設計方法。首先，通過基于 Hankel 矩陣的模型辨識方法得到了考慮耦合效應的兩軸 FSM 模型。然后，提出了基于 LMI 的故障觀測器設計方法。最后設計了兩軸 FSM 的故障觀測器，并通過仿真與實驗進行了驗證。

　　2 快速反射鏡的恒偏差故障模型

　　2.1 考慮耦合效應的兩軸快速反射鏡模型的建立

　　本文的研究對象是基于音圈電機驅動的兩軸 FSM，其具有行程大、驅動電壓低、耐振動沖擊等優點，在光電載荷中使用較多。

　　為了提高控制精度和響應速度，FSM 一般采用具有無摩擦、無裝配間隙、無需潤滑等優點的柔性支撐結構，沒有固定的軸系。柔性軸在提升 FSM 性能的同時，也容易引起機械諧振，因此柔性特性是 FSM 建模和控制時必須考慮的問題。由于存在裝調誤差，兩軸 FSM 的 X 軸和 Y 軸并不是完全正交的，其中一軸的運動狀態會對另一軸的運動狀態產生影響，即存在耦合效應，增加了控制的復雜性和難度。

　　考慮耦合效應的兩軸 FSM 的狀態空間方程如下：

　　GD = [

　　Axx 0 0 0 Bxx 0 0

　　Axy 0 0 Bxy 0 0

　　0 Ayx 0 0 Byx 0

　　0 0 Ayy 0 Byy 0

　　Cxx 0 Cyx 0 Dxx Dyx

　　0 Cxy 0 Cyy 0 Dxy Dyy

　　] = [AD BD; CD DD]

　　其中，A、B、C、D 為 FSM 系統的雙輸入雙輸出(double input double output, DIDO)模型，x 為系統狀態向量，u 為系統輸入向量，y 為系統輸出向量。

　　考慮耦合效應的兩軸 FSM 系統的模型可以通過如圖 2 所示的 4 個單輸入單輸出(single input single output, SISO)子系統的模型并聯組合得到。圖中 Gxx 表示 X 軸的控制電壓與 X 軸的偏轉角度之間的傳遞函數，Gxy 表示 X 軸的控制電壓與 Y 軸的偏轉角度之間的傳遞函數，同理可知 Gyx 和 Gyy。其中，Gxx = [Axx Bxx; Cxx Dxx]，Gxy = [Axy Bxy; Cxy Dxy]，Gyx = [Ayx Byx; Cyx Dyx]，Gyy = [Ayy Byy; Cyy Dyy]，其中，Axx、Bxx、Cxx、Dx 對應 Gxx 狀態空間模型中的參數 A、B、C、D。其他參數同理。

　　根據線性系統的組合特性，得到兩軸 FSM 系統的 DIDO 狀態空間矩陣 GD 為：

　　GD = [AD BD; CD DD]

　　其中，AD、BD、CD、DD 對應組合得到的 DIDO 狀態空間模型中的參數 A、B、C、D。

　　通過文獻 [16] 可知，式 (2) 的能控性矩陣 Lc 和能觀性矩陣 Lo 滿足以下李雅普諾夫方程：

　　其中，Lc = [BD ADBD … ADn-1BD]，Lo = [CD CDAD … CDAn-1D] T，n 為 AD 的階次。存在變換矩陣 T 使得變換后的能控性矩陣 Lcl 和能觀性矩陣 Lol 滿足：

　　Lcl = TLcTT = Λ;Lol = (T-1)TLoT-1 = Λ

　　其中，Λ = diag {λ1, …, λN}，其對角元素為系統奇異值，且 λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λr >> λr+1 ≥ … ≥ λN ≥ 0，其中 λ1, λ2, …, λr 是系統真實模態對應的奇異值，相對較大，λr+1, λr+2, …, λN 為測量噪聲引起的奇異值，相對較小，接近于零。

　　進而可以得到 FSM 系統的 DIDO 狀態空間矩陣 G：

　　G = [TADT-1 TB D; CDT-1 DD] = [A B; C D]

　　2.2 快速反射鏡恒偏差故障模型的建立

　　對于 FSM 系統，常見的故障有執行器故障和傳感器故障等。執行器和傳感器故障包括恒增益、卡死和恒偏差等。

　　對于執行器發生故障的情況，可用以下數學模型進行描述：

　　u(t) = ur(t) + fa(t)

　　其中，ur (t) 表示正常情況下的輸入信號，fa (t) 表示可能發生的執行器故障。

　　恒增益故障表示為 u (t) 出現恒定的增益值，即恒增益故障表示為 fa (t) = δur (t)，其中 δ 表示故障增益的倍數。

　　恒偏差故障表示為 u (t) 出現恒定的偏差值，即恒偏差故障表示為 fa (t) = a [0, …, 1i, …, 0] T，其中 a 為故障常數，向量中第 i 個元素為 1，對應發生故障的位置，其余元素為 0。

　　由于長時間工作，FSM 的柔性軸容易疲勞、松動及損壞，還容易產生彎曲變形等，這些故障都可以用執行器恒偏差故障來表示。

　　此時的輸入矩陣：

　　u(t) = ur(t) + Δ

　　其中，Δ 為執行器偏差故障向量，令其為執行器的故障矩陣。

　　對于傳感器發生故障的情況，可用以下數學模型描述：

　　ym(t) = y(t) + fs(t)

　　其中，y (t) 表示為正常情況下的輸出信號，fs (t) 表示可能發生的傳感器故障。傳感器的恒增益和恒偏差故障與執行器的恒增益和恒偏差故障類似。

　　由于 FSM 的工作環境比較惡劣，FSM 可能受到電磁場、振動、溫度變化或其他環境因素的干擾，這些情況都可以用傳感器恒偏差故障來表示。

　　此時的輸出矩陣：

　　ym(t) = y(t) + Ω

　　其中，Ω 為傳感器偏差故障向量，令其為傳感器的故障矩陣。

　　3 快速反射鏡的模型辨識

　　3.1 基于 Hankel 矩陣的快速反射鏡模型辨識方法

　　為了獲取兩軸 FSM 的 DIDO 模型，本文需要先獲取 4 個 SISO 模型。以 Gxx 為例，假設 FSM 系統的輸入信號為 {u (0), u (T), …}，輸出信號為 {y (0), y (T), …}。則 FSM 系統在激勵下得到的響應的離散狀態空間方程為：

　　{x((k+1)T) = ASx(kT) + BSu(kT)y(kT) = CSx(kT) + DSu(kT)}

　　其中，AS、BS、CS、DS 對應單軸 FSM 系統的 SISO 狀態空間模型中的參數 A、B、C、D。

　　記 FSM 系統脈沖響應(即 Markov 參數)為 {g (0), g (T), …}。則脈沖響應與傳遞函數的關系為：

　　g(0) = DS，g(T) = CSBS，

　　g(2T) = CSASBS，g(3T) = CSAS²BS，…

　　根據系統脈沖響應序列 g (kT) 構造的 Hankel 矩陣 H 如下：

　　H = [

　　g(T) g(2T) … g(nT)

　　g(2T) g(3T) … g((n+1)T)

　　⋮ ⋮ ⋱ ⋮

　　g(nT) g((n+1)T) … g((2n-1)T)] = [CSCSAS⋮CSASn-1

　　][BS ASBS … ASn-1BS]

　　對 Hankel 矩陣進行奇異值分解：

　　H = [U1 U2] diag{Σ1, Σ2}[V1 V2]T = U1Σ1V1T + U2Σ2V2T ≈ U1Σ1V1T

　　其中，定義 H1 為：H1 = U1√Σ1AS√

　　通過式 (13)，對矩陣 H1 進行奇異值分解，可以得到 U1、√Σ1 與 V1，將 U1 和√Σ1 相乘，取第一行為 CS;將√Σ1 與 V1T 相乘，取第一列為 BS，將式 (14) 兩側進行轉置與逆運算，即可求得 AS。根據式 (13) 和式 (14)，可以得到：

　　CS = (U1 diag{√σ1, …, √σr})E1

　　BS = (diag{√σ1, …, √σr}V1T)E1

　　AS ≈ (√Σ1)-1U1TH1V1(√Σ1)-1

　　其中，E1 表示取矩陣的第 1 行，E1 表示取矩陣的第 1 列。

　　一般來說，工程系統都滿足 DS = g (0) ≈ 0，根據參數 AS，BS，CS，DS 便可求得 FSM 系統的傳遞函數 Gxx。

　　3.2 兩軸快速反射鏡模型的獲取

　　dSPACE 可根據主控計算機 MATLAB/Simulink 中的控制算法，實時生成代碼并下載到硬件中運行，方便進行 FSM 模型辨識和故障檢測的研究。FSM 采用四象限探測器作為角位移傳感器，角位移傳感器的信號通過 AD 采樣進入 dSPACE，dSPACE 產生的控制指令通過 DA 給到驅動電路放大后，驅動 FSM 轉動。

　　采集實驗數據，得到的 4 組 SISO 模型如下：

　　Cxx = [-33.07 -2.07 41.02 -0.99]T

　　Cyy = [-27.99 -4.65 37.69 -0.77]T

　　D = [0 0; 0 0]

　　通過計算可以得到實驗室的 FSM 系統的 DIDO 模型如下：

　　A = [-20.49 2.79 125.68 -

　　-2.98 -20.41 -3.79 -147.11 -125.07

　　3.48 -32.09 3.62 2.04

　　147.13 -3.26 -29.58]

　　B = [25.52 -20.77 26.74 21.10; -23.89 -23.15 -23.69 23.68]T

　　C = [24.68 -22.28 -25.40 -21.97 -24.76 -21.70 25.12 -22.87]

　　在得到 FSM 系統的 DIDO 模型后，以該 DIDO 模型計算出的 X 軸的控制電壓與 X 軸偏轉角度之間的傳遞函數為例，將其與實際 FSM 系統 X 軸的頻域特性曲線進行對比。

　　在 FSM 的工作帶寬范圍內，采用基于 Hankel 矩陣模型辨識方法得到的狀態空間模型與 FSM 實際系統的頻域特性基本一致，具有較高的建模精度。

　　4 快速反射鏡的故障觀測器

　　4.1 恒偏差故障觀測器的設計

　　由式 (1)、式 (7) 和式 (9)，得出當 FSM 系統發生執行器恒偏差故障和傳感器恒偏差故障時的狀態空間方程：

　　{ẋ = Ax + Bu + Ed d + Ef f

　　y = Cx + Du + Fd d + Ff f}

　　其中，A、B、C、D 為 FSM 系統的 DIDO 模型，Ed、Fd 為外界干擾矩陣，Ef、Ff 為 FSM 系統故障矩陣，A、B、C、D、Ed、Fd、Ef、Ff 均已知。x 為系統狀態向量，u 為系統輸入向量，y 為系統輸出向量，d 為系統的不確定擾動向量(包括建模誤差和外部擾動等)，f 為系統的故障向量。

　　上述公式有如下假設：(1) 系統是漸進穩定的;(2)(C, A) 是可檢測的;(3)[A-jωI Ed; C Fd] 對于所有的 ω 行滿秩。

　　設計如下 FSM 系統故障觀測器：

　　{ẋ̂ = Ax̂ + Bu + H(y-ŷ)

　　ŷ = Cx̂ + Du

　　r = V(y-ŷ)}

　　其中，x̂為系統狀態估計向量，ŷ為輸出估計向量，r 為殘差信號，H 為故障觀測器的增益矩陣，V 為殘差權重矩陣。

　　根據式 (16) 和式 (17)，構建的 FSM 故障觀測器模型。

　　記觀測誤差 e = x - x̂，于是系統可表示為：

　　{ė = (A - HC)e + (Ed - HFd)d + (Ef - HFf)f

　　r = V(Ce + Fd d + Ff f)}

　　構建的故障觀測器應該滿足以下兩個要求：(1) 保證矩陣 A - HC 穩定;(2) 保證生成的殘差 r 對不確定擾動 d 有很強的魯棒性，對系統故障 f 有很強的靈敏性。

　　在觀測器設計方面，Riccati 方程由于無法考慮模型不確定性和外界擾動，因此會影響故障觀測器增益矩陣和殘差權重矩陣，從而降低系統狀態估計量和系統殘差的準確性，最終會導致系統的故障檢測性能下降。

　　4.2 基于 LMI 的故障觀測器設計

　　LMI 故障觀測器可以通過調整矩陣參數以滿足不同的性能要求和故障檢測需求，這使得 LMI 故障觀測器具有一定的靈活性，可以根據具體的系統特性進行定制和優化。

　　雖然基于 LMI 的故障觀測器需要進行多次迭代運算才可求得最優解，但使用 MATLAB 等可以大幅提高運算效率的計算軟件可以較好地解決計算量較大的問題。而且相比于 Riccati 方程，該方法考慮到了模型不確定性和外界擾動的影響。經過多次迭代，能夠很好地增強系統對不確定擾動的魯棒性和對故障檢測的靈敏度，進而提高故障檢測的準確性。

　　4.3 評價函數與閾值設定

　　一般地，在獲得故障觀測器殘差之后，需要對產生的殘差進行評價。

　　5 仿真和實驗結果

　　5.1 模型參數、擾動參數的設定

　　根據上文得到的 FSM 解析模型式 (5)，假設建模誤差和外部擾動是方差為 0.075 的噪聲信號，在 2~3 s 增加故障幅值為 0.05 的階躍信號，進行恒偏差故障模擬。

　　5.2 傳感器故障的仿真結果

　　當 FSM 執行器無故障、傳感器出現故障時：

　　求解基于 Riccati 的故障觀測器，得到的 X 軸與 Y 軸的偏轉角殘差如圖 7 所示，在 2~3 s 增加故障后，Y 軸在 2.03 s 檢測到故障，但 X 軸未檢測到故障，說明該方法不能完全檢測出系統故障。

　　求解基于 LMI 的故障觀測器，得到的 X 軸與 Y 軸的偏轉角殘差如圖 9 所示，X 軸在 2.38 s 檢測到故障，Y 軸在 2.10 s 檢測到故障，說明該方法能夠完全檢測出系統故障。

　　5.3 執行器和傳感器同時故障的仿真結果

　　當 FSM 執行器和傳感器均出現故障時：

　　求解基于 Riccati 的故障觀測器，得到的 X 軸與 Y 軸的偏轉角殘差如圖 11 所示，Y 軸在 2.02 s 檢測到故障，但 X 軸未檢測到故障，說明該方法不能完全檢測出系統故障。

　　求解基于 LMI 的故障觀測器，得到的 X 軸與 Y 軸的偏轉角殘差如圖 13 所示，X 軸在 2.21 s 檢測到故障，Y 軸在 2.12 s 檢測到故障，說明該方法能夠完全檢測出系統故障。

　　5.4 執行器和傳感器同時故障的實驗結果

　　通過 dSPACE 實驗平臺對 FSM 實際系統的執行器、傳感器故障進行實驗測試，故障框圖如圖 15 所示(音圈電機故障表示執行器恒偏差故障，四象限探測器故障表示傳感器恒偏差故障)。

　　基于 Riccati 的故障觀測器實驗中，Y 軸在 2.01 s 檢測到故障，但 X 軸未檢測到故障，說明該方法不能完全檢測出系統故障。

　　基于 LMI 的故障觀測器實驗中，X 軸在 2.10 s 檢測到故障，Y 軸在 2.06 s 檢測到故障，說明該方法能夠完全檢測出系統故障。

　　6 結論

　　本文采用基于 Hankel 矩陣的模型辨識方法獲得了考慮耦合效應的兩軸 FSM 模型，實現柔性模態的精確辨識，為恒偏差故障的檢測奠定了基礎。然后，針對空間激光通信下的 FSM 恒偏差故障檢測問題，采用 LMI 方法設計了故障觀測器，并通過仿真與實驗進行了驗證。

　　結果表明，采用 Riccati 方法設計的故障觀測器無法考慮模型不確定性和外界擾動的影響，降低了準確性，無法有效檢測出其中一軸的故障，而采用 LMI 方法設計的故障觀測器通過多次迭代，提高了系統對不確定擾動的魯棒性和對故障檢測的靈敏度，對于 X 軸能夠在故障發生后 0.1 秒內檢測出故障，對于 Y 軸能夠在故障發生后 0.06 秒內檢測出故障。因此本文提出的基于 LMI 的故障觀測器設計方法可以有效解決兩軸 FSM 恒偏差故障的檢測問題。

　　對控制系統來說，模型不確定性和外界擾動分別屬于內部因素和外部因素，從本質上來說是不同的。本文對 FSM 故障檢測的研究尚未區分模型不確定性和外界擾動，后續可以在此基礎上，分別研究模型不確定性和外界擾動對 FSM 恒偏差故障的檢測的影響。

李智斌;潘嘉男;孫崇尚;吳佳彬,山東科技大學電氣與自動化工程學院;中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,202501