1 引言

　　近年來，保險公司的最優風險控制與投資問題已經受到了廣泛的關注。保險公司可以將資金投資于金融市場來增加收益。采用合適的風險控制策略可以幫助保險公司規避保險風險，一種比較常見且有效的規避保險風險的方法是購買再保險。有關最優投資與再保險問題，另一種方法是直接通過管理保單數量來控制保險風險。例如，Zou 和 Cadenillas 在期望效用最大化準則下研究了保險公司的最優投資和風險控制問題，Peng 和 Wan 研究了具有市場內幕信息的保險公司的最優投資和風險控制問題，Bo 和 Wang 引入隨機因子，研究了保險公司的最優風險控制和投資問題，Peng 等假設保險公司只擁有市場部分信息，求解了最優投資和風險控制策略，Shen 和 Zou 通過引入前向輔助過程求解了時間一致的投資與風險控制策略，Chen 等在保險公司只擁有市場部分信息并且終端決策時刻不確定的情況下研究了保險公司的最優投資和風險控制問題。

　　在預先承諾策略中，決策者僅依賴于初始信息求解最優策略，這意味著決策者在初始時刻選擇了一個策略來最大化目標函數，然后沿用這個策略。另一種方法是在博弈論框架下處理動態均值 - 方差問題，尋找時間一致的均衡策略，該策略不僅在當前是均衡的，未來的任何時刻都保持均衡性。有關這種方法的更多細節，可以參考 Björk 和 Murgoci、Wang 和 Wei、Sun 和 Guo。兩種方法來應對時間不一致問題，一種方法是尋求預先承諾的策略，如 Bi 等，均值 - 方差準則存在時間不一致問題，另一種方法是在博弈論框架下處理動態均值 - 方差問題，尋找時間一致的均衡策略。

　　動態均值 - 方差準則是最優風險控制和投資問題研究中的常用優化準則，相比較期望效用最大化準則和最小化破產概率準則，具有其獨特的優勢。Wang 和 Wei 在動態均值 - 方差準則下將 CEV 模型納入最優再保險和投資問題中，得到了時間一致的再保險和投資策略的封閉表達式和相應的值函數。Björk 等假設決策者的風險厭惡與當前的財富值有關，并在動態均值 - 方差準則下求解了時間一致的投資組合策略。Bi 和 Cai 將狀態依賴的風險規避和 VaR 約束引入到均值 - 方差再保險和投資問題中，獲得了時間一致的均衡策略。

　　Yuan 等在均值 - 方差準則下研究了具有稀疏相依結構的風險模型的時間一致再保險與投資問題。以上所有的研究都假設市場是無摩擦的，忽略了在金融市場中投資的交易成本。然而，在實際的投資交易中，交易成本是不可避免的，投資于風險資產時通常需要支付相應的交易費用，這會在一定程度上降低交易策略的收益。因此，不應忽視交易成本對投資績效的影響。Yoshiba 和 Tamura 研究了受交易成本影響的投資組合優化問題，實證分析表明，忽略交易成本會導致投資組合效率低下。He 和 Liang 考慮金融市場中具有固定和比例交易成本，研究了保險公司的最優融資和股利控制問題。Hobson 等求解了金融市場中具有比例交易成本和單一風險資產的默頓問題。

　　Mei 和 Nogales 假設金融市場中存在多個風險資產和比例交易成本，在收益可預測的情況下，研究了多階段的投資組合選擇問題。Melnyk 等探討了在等彈性遞歸效用下，具有小交易成本的終身消費和投資組合選擇問題。Gârleanu 和 Pedersen 假設每筆交易都會對風險資產產生一個線性的瞬時價格影響，由此導出交易成本是二次型的，并在離散時間框架下研究了具有收益可預測的最優投資組合問題。在文獻 [27] 的框架下考慮了具有二次型交易成本，且收益可預測時的投資組合選擇問題，得到了最優投資策略的顯式表達式，并證明了文獻 [27] 中離散時間情況下解的極限與文獻 [28] 中連續時間框架下的解是一致的。Bensoussan 等研究了存在二次型交易成本和收益可預測的最優交易策略，其目標是使終端財富的指數效用最大化。結果表明，最優交易策略將逐漸收斂于由未來默頓投資組合的期望的加權和所構成的目標投資組合。

　　在文獻 [29] 中，同樣研究了具有收益可預測和二次型交易成本的投資組合問題，并表明交易策略應逐步向目標投資組合靠近。本文在保險公司的最優風險控制與投資問題中引入二次型交易成本，假設保險市場和金融市場是相關的，在動態均值 - 方差準則下，運用博弈論的思想，通過求解擴展的 HJB 方程組，得到了時間一致的均衡風險控制與投資策略。假設金融市場由無風險資產和多種風險資產組成，并且運用跳擴散過程來描述保險公司單位風險的動態模型。與現有的均值 - 方差準則下的最優風險控制和投資問題的文獻相比，本文的創新點在于同時考慮了二次型交易成本和保險市場與金融市場之間的相關性。

　　雖然 Gârleanu 和 Pedersen 等研究了具有二次型交易成本的投資組合問題，但是這些工作并沒有考慮到保險風險控制以及保險風險與金融風險的相關性。在博弈論框架下，通過求解擴展的 HJB 方程組，我們得到了依賴于矩陣 Riccati 方程組的解的均衡策略和相應的值函數。此外，還進一步研究了一些特殊情況，并給出了均衡策略和值函數的更具體的表達式。通過數值分析發現，隨著交易成本水平或相關系數的增加，投資的增長率會減小。并且交易成本水平的增加會導致更差的有效前沿。該文第 2 節介紹了單位風險過程，風險資產價格過程以及優化目標。第 3 節求解優化問題，推導出均衡風險控制和投資策略以及相應的值函數，同時還考慮了一些特殊情形。第 4 節通過數值算例分析了重要參數對均衡策略和有效前沿的影響。第 5 節是對該文的總結。

　　2 模型建立令

　　((Omega, F,{F_{t}}{t in[0, T]}, mathbb{P}))為一個帶 filtration 的完備概率空間，其中({F{t}}{t in[0, T]})滿足通常條件，(T>0)為終端決策時刻。本文涉及到的隨機過程都定義在上述概率空間中，并關于({F{t}}{t in[0, T]})適應。假設保險公司的單位風險過程(R(t))滿足(d R(t)=alpha d t+sigma{0} d W_{0}(t)+int_{0}^{infty} y N( d t, d y))

　　其中(alpha)和(sigma_{0})為正常數，(N(dt, dy))為泊松隨機測度，(W_{0}(t))是一個與(N(dt, dy))獨立的標準布朗運動。令( ilde{N}(dt, dy) = N(dt, dy)-v(dy)dt)為(N(dt, dy))的補償泊松隨機測度，其中(v(dy))為 Lévy 測度，滿足(int_{0}^{infty}(1wedge y^2)v(dy)<infty)。保險公司可以通過控制保單數來管理保險風險，設(p(t))表示t時刻保險公司承擔的保單數量。給定風險控制策略(p(t))，保險公司的瞬時收益為(p(t)(c dt - dR(t)))，其中c表示保險公司收取的單位保費率。為了增加收益，保險公司還可以將資金投資于金融市場。無風險資產的價格過程(S_{0}(t))滿足(d S_{0}(t)=r_{0} S_{0}(t) d t)其中(r_{0})為無風險利率。風險資產的價格過程(S(t)=(S_{1}(t),S_{2}(t),cdots,S_{n}(t))^{ op})滿足

　　(d S(t)=left[r_{0} S(t)+mu(t) ight] d t+sigma_{s}left( ho I_{n imes 1} d W_{0}(t)+hat{ ho} d W_{1}(t) ight))

　　這里(sigma_{s}=(sigma_{i j}){n imes n})是n階非退化波動率矩陣，(mu(t)=[mu{1}(t), mu_{2}(t), cdots, mu_{n}(t)]^{ op})為風險資產的超額回報率向量，(W_{1}(t)=[W_{11}(t), W_{12}(t), cdots, W_{1 n}(t)]^{ op})為與(W_{0}(t))和(N(dt, dy))獨立的n維布朗運動，( ho=diag( ho_{1}, ho_{2}, cdots, ho_{n}))描述了保險市場與金融市場之間的相關性，而(hat{ ho}=diag(sqrt{1- ho_{1}^{2}}, sqrt{1- ho_{2}^{2}}, cdots, sqrt{1- ho_{n}^{2}}))，(I_{n imes 1})為元素均為 1 的列向量。

　　在現實中，投資策略的選取會受到市場摩擦的影響，如交易成本，市場波動，資本利得稅等，其中交易成本最為常見，并受到研究人員和投資者的廣泛關注。交易成本會在一定程度上影響投資者的投資組合選擇，且忽視交易成本可能會導致較大損失。設(pi_{i}(t))為保險公司投資于第i個風險資產的份額，(i = 1,2,cdots,n)，記(pi(t)=[pi_{1}(t), pi_{2}(t), cdots, pi_{n}(t)]^{ op})。Gârleanu 和 Pedersen 指出資產頭寸的非光滑變動可能會導致無限的交易成本，所以本文只考慮光滑或者絕對連續的投資組合(pi(t))。即存在(varphi(t)=[varphi_{1}(t), varphi_{2}(t), cdots, varphi_{n}(t)]^{ op})使得(d pi(t)=varphi(t) d t)以下將(varphi(t))視為投資策略。

　　參考 Gârleanu 和 Pedersen 的做法，假設交易速度(varphi(t)dt)對它的價格產生瞬時的線性影響，這導致保險公司每買入(或賣出)(varphi(t)dt)單位風險資產時需要支付(或獲得)的金額為(S^{E}(t):=S(t)+frac{1}{2} Lambda varphi(t))其中(Lambda)刻畫交易成本水平，它是n階的對稱正定矩陣。(S^{E}(t))稱為風險資產的執行價格。在給定策略(varphi(t))下，單位時間的總成本為(Cost(varphi(t)):=varphi(t)^{ op} S^{E}(t)=varphi(t)^{ op} S(t)+frac{1}{2} varphi(t)^{ op} Lambda varphi(t))

　　上式右邊第一項為交易(varphi(t))單位價格為(S(t))的風險資產的支出，第二項為相應的交易成本。令(u(t)=(p(t), varphi(t))^{ op})為保險公司采取的風險控制與投資策略，(X^{u}(t))為相應的財富過程，則(X^{u}(t))滿足

　　(egin{aligned} d X^{u}(t)= & p(t)(c d t-d R(t))+r_{0} pi_{0}(t) S_{0}(t) d t+pi(t)^{ op} d S(t)-frac{1}{2} varphi(t)^{ op} Lambda varphi(t) d t = & {left[r_{0} X^{u}(t)+p(t)(c-alpha)+pi(t)^{ op} mu(t)-frac{1}{2} varphi(t)^{ op} Lambda varphi(t) ight] d t } & +left(pi(t)^{ op} sigma_{s} ho I_{n imes 1}-p(t) sigma_{0} ight) d W_{0}(t)+pi(t)^{ op} sigma_{s} hat{ ho} d W_{1}(t)-p(t) int_{0}^{infty} y ilde{N}(d t, d y) end{aligned})

　　其中(pi_{0}(t)S_{0}(t))為投資于無風險資產的財富，滿足(pi_{0}(t) S_{0}(t)=X^{u}(t)-pi(t)^{ op} S(t))。下面給出可容許策略的定義

　　定義 2.1 如果風險控制與投資策略(u(t)=(p(t), varphi(t))^{ op})滿足如下條件，那么稱其為可容許策略

　　(1)(u(t))關于({F_{t}}{t in[0, T]})循序可測;(2) 對任意(t in[0, T])，(p(t) in[0,+infty));(3)(mathbb{E}left[int{0}^{T}left(p(t)^{2}+|varphi(t)|^{2} ight) d t ight]<+infty);

　　(4) 隨機微分方程 (2.7) 存在唯一強解。保險公司的目標函數定義為

　　(J^{u}(t, x, pi)=mathbb{E}{t, x, pi}left[X^{u}(T) ight]-frac{gamma}{2} Var{t, x, pi}left[X^{u}(T) ight])

　　其中(mathbb{E}{t, x, pi}[cdot]=mathbb{E}[cdot | X^{u}(t)=x, pi(t)=pi])，(Var{t, x, pi}[cdot]=Var[cdot | X^{u}(t)=x, pi(t)=pi])，(gamma)為風險厭惡系數。保險公司的目標是尋找風險控制與投資策略使得目標函數最大化，即求解

　　(sup {u in Pi} J^{u}(t, x, pi))由于(J^{u}(t, x, pi))中含有(mathbb{E}{t, x, pi}[X^{u}(T)])的非線性項，所以問題 (2.9) 是時間不一致的，即保險公司在當前時刻的最優策略在未來可能不是最優的。但是對于理性的決策者來說，策略的時間一致性是非常重要的，決策者希望能夠得到時間一致的均衡策略。參考 Björk 和 Murgoci 和 Björk 等，我們給出時間一致的均衡風險控制與投資策略的定義定義 2.2 設(u^{}(t)=(p^{}(t), varphi^{}(t))^{ op} in Pi)，構造如下策略(u_{varepsilon}(s)=left{egin{array}{l} ( ilde{p}, ilde{varphi}), t leq s leq t+varepsilon, u^{}(s), t+varepsilon leq s leq T, end{array} ight.)

　　其中(varepsilon>0)為一固定實數，(( ilde{p}, ilde{varphi}) in[0,+infty) imes mathbb{R}^{n})。如果對任意的初始狀態((t, x, pi) in[0, T] imes mathbb{R} imes mathbb{R}^{n})，有

　　(lim inf {varepsilon downarrow 0} frac{J^{u^{*}}(t, x, pi)-J^{u{varepsilon}}(t, x, pi)}{varepsilon} geq 0)

　　那么(u^{}(t)=(p^{}(t), varphi^{}(t))^{ op})為均衡風險控制與投資策略，且相應的值函數為(V(t, x, pi)=J^{u^{}}(t, x, pi))3 主要結果本節給出問題 (2.9) 的驗證定理并求解得到時間一致的均衡風險控制與投資策略。首先定義一個無窮小算子。方便起見，令(C^{1,2,2}([0, T] imes mathbb{R} imes mathbb{R}^{n}))為所有關于(t in[0, T])一階連續可導，關于(x in mathbb{R})，(pi in mathbb{R}^{n})二階連續可導的函數(phi(t, x, pi))構成的空間。對任意的(phi(t, x, pi) in C^{1,2,2}([0, T] imes mathbb{R} imes mathbb{R}^{n}))，定義算子如下[egin {aligned} mathcal {A}^{u} phi (t, x, pi):= & {left[r_{0} x+p(c-alpha)+pi^{ op} mu-frac{1}{2} varphi^{ op} Lambda varphi ight] phi_{x}(t, x, pi)+phi_{t}(t, x, pi)

　　& +phi_{pi}(t, x, pi)^{ op} varphi+frac{1}{2}left(left(pi^{ op} sigma_{s} ho I_{n × 1}-p sigma_{0} ight)^{2}+pi^{ op} sigma_{s} hat{ ho}^{2} sigma_{s}^{ op} pi ight) phi_{x x}(t, x, pi) & +int_{0}^{infty}(phi(t, x-p y, pi)-phi(t, x, pi)) v( d y) .end{aligned}

　　]下面給出問題 (2.9) 的值函數滿足的擴展的 HJB 方程組及相應的驗證定理

　　3、定理

　　3.1 假設存在函數(V(t, x, pi))，(g(t, x, pi) in C^{1,2,2}([0, T] ×mathbb{R} ×mathbb{R}^{n}))滿足如下擴展的 HJB 方程組

　　(sup {u in Pi}left{mathcal{A}^{u} V(t, x, pi)-frac{gamma}{2} mathcal{A}^{u} g^{2}(t, x, pi)+gamma g(t, x, pi) mathcal{A}^{u} g(t, x, pi) ight}=0)(V(T, x, pi)=x)(mathcal{A}^{u^{}} g(t, x, pi)=0)其中(u^{}:=arg sup {u in Pi}left{mathcal{A}^{u} V(t, x, pi)-frac{gamma}{2} mathcal{A}^{u} g^{2}(t, x, pi)+gamma g(t, x, pi) mathcal{A}^{u} g(t, x, pi) ight})(g(T, x, pi)=x)那么(u^{})為均衡風險控制與投資策略，且(V(t, x, pi)=J^{u^{}}(t, x, pi))，(g(t, x, pi)=mathbb{E}{t, x, pi}left[X^{u^{}}(T) ight])。證 參見文獻 [17]。通過求解擴展的 HJB 方程組可得到以下結果定理

　　3.2 對于問題 (2.9)，其均衡風險控制策略為(p^{}(t)=p(t) vee 0)其中(p(t))滿足(egin{aligned}& (c-alpha) e^{r{0}(T-t)}+gamma sigma_{0}left(pi(t)^{ op} sigma_{s} ho I_{n × 1}-p(t) sigma_{0} ight) e^{2 r_{0}(T-t)}

　　& -int_{0}^{infty}left(y e^{r_{0}(T-t)}+gamma p(t) y^{2} e^{2 r_{0}(T-t)} ight) v( d y)=0 .

　　end{aligned})均衡投資策略(varphi^{}(t))由下式給出(varphi^{}(t)=Lambda^{-1}(2 M(t) pi(t)+overline{N}(t)) e^{-r_{0}(T-t)})這里的(M(t))是微分方程 (A10) 的解，而(ar{N}(t))是微分方程 (A11) 的解 (其中(p(t))換為(p(t) vee 0))。相應的均衡值函數如下

　　(V(t, x, pi)=x e^{r_{0}(T-t)}+pi^{ op} M(t) pi+pi^{ op} overline{N}(t)+overline{H}(t))上式中(ar{H}(t))是微分方程 (A12) 的解 (其中(p(t))換為(p(t) vee 0))。且

　　(mathbb{E}{t, x, pi}left[X^{u^{*}}(T) ight]=g(t, x, pi)=x e^{r{0}(T-t)}+pi^{ op} m(t) pi+pi^{ op} overline{n}(t)+overline{h}(t))這里的(m(t))是微分方程 (A13) 的解，(ar{n}(t))和(ar{h}(t))分別是微分方程 (A14) 和 (A15) 的解 (其中(p(t))換為(p(t) vee 0)。證 見附錄 A.1。注 3.1 由 (3.9) 式可以看出均衡投資策略(varphi^{}(t))的取值與交易成本水平(Lambda)有關，而當( ho eq 0_{n ×n})時，由 (3.9) 和 (A11) 式可以發現均衡投資策略(varphi^{}(t))不僅依賴于交易成本水平，還依賴于保險公司的單位風險過程的參數，這是保險市場和金融市場之間存在相關性導致的。并且當市場相關性存在時，由 (3.8) 式可知，均衡風險控制策略(p^{}(t))與均衡投資策略(varphi^{}(t))有關，也就是說，交易成本水平(Lambda)不僅影響均衡投資策略(varphi^{}(t))，也會影響均衡風險控制策略(p^{}(t))。注 3.2 根據 (3.10) 與 (3.11) 式可以得到均值 - 方差有效前沿的參數表達式為 ((gamma)視為參數)

　　(mathbb{E}{t, x, pi}left[X^{u^{*}}(T) ight]=g(t, x, pi)=x e^{r{0}(T-t)}+pi^{ op} m(t) pi+pi^{ op} overline{n}(t)+overline{h}(t))(egin{aligned}

　　operatorname{Var}{t, x, pi}left[X^{u^{*}}(T) ight] & =frac{2}{gamma}[g(t, x, pi)-V(t, x, pi)] & =frac{2}{gamma}left{pi^{ op}[m(t)-M(t)] pi+pi^{ op}[overline{n}(t)-overline{N}(t)]+overline{h}(t)-overline{H}(t) ight} .end{aligned})命題 3.1 對任意固定的(t in[0, T])和(pi in mathbb{R}^{n})，方程 (3.8) 存在唯一解。證 對任意固定的(t in[0, T])和(pi in mathbb{R}^{n})，令(egin{aligned}f(p, pi):= & (c-alpha) e^{r{0}(T-t)}+gamma sigma_{0}left(pi^{ op} sigma_{s} ho I_{n × 1}-p sigma_{0} ight) e^{2 r_{0}(T-t)}

　　& -int_{0}^{infty}left(y e^{r_{0}(T-t)}+gamma p y^{2} e^{2 r_{0}(T-t)} ight) v( d y) .end{aligned})(f(p, pi))關于p連續可導，且(frac{partial f(p, pi)}{partial p}=-gamma sigma_{0}^{2} e^{2 r_{0}(T-t)}-int_{0}^{infty} gamma y^{2} e^{2 r_{0}(T-t)} v( d y)<0 .)對于給定的(pi in mathbb{R}^{n})，有(lim {p downarrow-infty} f(p, pi)=+infty)和(lim {p uparrow+infty} f(p, pi)=-infty)。因此，由連續函數的介值定理知方程 (3.8) 存在唯一解。均衡策略滿足的方程 (3.8)，(3.9)，(A10)，(A11) 和 (A12) 是高度非線性的，一般來說，很難通過求解這些方程得到均衡策略的 (半) 解析表達式。接下來我們將關注一些特殊情況，得到均衡策略的相對具體的表達式，以便于后續的數值分析。推論 3.1 當單位風險過程中沒有跳躍時，即滿足(d R(t)=alpha d t+sigma{0} ~d W{0}(t))，均衡策略(u_{1}^{}(t))(left{egin{array}{l}p_{1}^{}(t)=left[frac{(c-alpha) e^{-r_{0}(T-t)}+gamma sigma_{0} pi(t)^{ op} sigma_{s} ho I_{n × 1}}{gamma sigma_{0}^{2}} ight] vee 0,

　　varphi_{1}^{}(t)=Lambda^{-1}left(2 M_{1}(t) pi(t)+overline{N}{1}(t) ight) e^{-r{0}(T-t)},end{array} ight.)并且最優投資份額(pi_{1}^{}(t))滿足以下二階微分方程

　　(left{egin{array}{l}

　　pi_{1}^{}(t)''+left(2 e^{-r_{0}(T-t)} Lambda^{-1} M_{1}(t)-r_{0} E_{n × n}-k(t) ight) pi_{1}^{}(t)'

　　+left(-k(t)'-2 e^{-r_{0}(T-t)} Lambda^{-1} M_{1}(v) k(t)+r_{0} k(t) ight) pi_{1}^{}(t) +Lambda^{-1}left(mu+gamma p_{1}^{}(t) sigma_{0} sigma_{s} ho I_{n × 1} ight)=0_{n × 1},

　　pi_{1}^{}(T)'=0_{n × 1},end{array} ight.)這里的(M_{1}(t))是微分方程 (A20) 的解，(ar{N}{1}(t))是微分方程 (A21) 的解 (其中(p{1}(t))換為(p_{1}^{}(t)))，(k(t)=2 e^{-r_{0}(T-t)} Lambda^{-1} M_{1}(t))。且均衡值函數為

　　(V_{1}(t, x, pi)=e^{r_{0}(T-t)} x+pi^{ op} M_{1}(t) pi+pi^{ op} overline{N}{1}(t)+overline{H}{1}(t))上式中(ar{H}{1}(t))是微分方程 (A22) 的解 (其中(p{1}(t))換為(p_{1}^{}(t)))。證 見附錄 A.2。推論 3.2 當保險市場和金融市場獨立時，即( ho=0_{n ×n})，此時均衡策略(u_{2}^{}(t))滿足

　　(left{egin{array}{l}

　　(c-alpha) e^{r_{0}(T-t)}-gamma sigma_{0}^{2} p_{2}^{}(t) e^{2 r_{0}(T-t)} -int_{0}^{infty}left(y e^{r_{0}(T-t)}+gamma p_{2}^{}(t) y^{2} e^{2 r_{0}(T-t)} ight) v( d y)=0,

　　varphi_{2}^{}(t)=Lambda^{-1}left(2 M_{2}(t) pi(t)+N_{2}(t) ight) e^{-r_{0}(T-t)},end{array} ight.)其中(M_{2}(t))和(N_{2}(t))分別是微分方程 (A31) 和 (A32) 的解，且 (3.17) 式中有關(p_{2}^{}(t))的方程存在唯一解。由(varphi_{2}^{}(t))的表達式可得(pi_{2}^{}(t)=e^{int_{0}^{t} 2 e^{-r_{0}(T-s)} Lambda^{-1} M_{2}(s) d s}left(pi_{2}(0)+int_{0}^{t} e^{-int_{0}^{s} 2 e^{-r_{0}(T-u)} Lambda^{-1} M_{2}(u) d u} e^{-r_{0}(T-s)} Lambda^{-1} N_{2}(s) d s ight) .)相應的均衡值函數為

　　(V_{2}(t, x, pi)=x e^{r_{0}(T-t)}+pi^{ op} M_{2}(t) pi+pi^{ op} N_{2}(t)+H_{2}(t))其中(H_{2}(t))滿足的微分方程為 (A33)。證 見附錄 A.3。

　　4 數值分析

　　本節首先在單位風險過程沒有跳躍的情況下分析了市場相關系數( ho)和交易成本水平(Lambda)對均衡策略的影響，然后在金融市場和保險市場不相關的情況下分析了交易成本水平對投資策略及有效前沿的影響。在接下來的數值算例中，我們考慮風險市場中只存在一種風險資產。本節基本參數的默認取值如下：(gamma=0.5)，(alpha=0.8)，(r_{0}=0.05)，(mu=0.2)，(t=0)，(T=1)，(sigma_{s}=0.2)，(c=1.5)，(sigma_{0}=1)。

　　4.1 不帶跳躍

　　在推論 3.1 中，我們得到了在不帶跳躍的情況下，保險公司投資份額(pi_{1}^{}(t))滿足的二階微分方程，若給定終端時刻投資份額(pi_{1}(T)=5)，此時可以使用龍格 - 庫塔方法對(pi_{1}^{}(t))進行數值求解。描述了交易成本水平(Lambda)對均衡投資策略和均衡風險控制策略的影響。隨著時間的推移，保險公司對風險資產的投資逐漸增加，而投資增長率逐漸降低。在任意給定的時刻t，(pi_{1}^{}(t))關于交易成本水平(Lambda)遞增。這是因為交易成本水平越高，交易大量的風險資產會產生高額的交易成本，這會降低保險公司的投資收益。因此，保險公司會降低自身的投資增長率。所以，當交易成本水平提高時，為了達到終端時刻給定的風險資產份額，保險公司會持有更多的風險資產。

　　顯示對于任意給定的時刻，(p_{1}^{}(t))關于交易成本水平遞減。也就是說，當交易成本水平提高時，保險公司承擔的保單數量會減少。這是因為交易成本水平的提高使得保險公司的投資收益降低，此時保險公司會減少保單數量以降低保險風險。展示了市場相關系數( ho)對均衡投資策略和均衡風險控制策略的影響。 表明了對于任意給定的時刻t，(pi_{1}^{}(t))關于相關系數( ho)遞增。相關系數越大意味著系統風險越大，這會導致保險公司降低投資增長率以規避風險。因此，隨著相關系數的增大，保險公司需要持有更多的風險資產以達到終端時刻給定的風險資產份額，這與文獻 [19] 中的結果是一致的。

　　當( ho<0)時，(p_{1}^{}(t))隨時間遞增;當( ho>0)時，(p_{1}^{*}(t))隨時間遞減。并且( ho=-0.5)和( ho=-0.8)所對應的兩條曲線交于一點，記為(t_{1})。當(tt_{1})時，結果則相反。在(T-t=1)(即(t=0))時，文獻 [19] 的結果表明，最優風險控制策略隨相關系數的增大先遞減再遞增。而在本文中，在(t=0)時，均衡風險控制策略隨相關系數的增大先遞增再遞減，與文獻 [19] 中的結果是相反的。

　　4.2 保險市場與金融市場

　　獨立我們運用推論 3.2 中的結果進行數值模擬。此時，假設單位風險過程滿足(d R(t)=alpha d t+sigma_{0} d W_{0}(t)+d sum_{i=1}^{N(t)} Y_{i})其中({N(t)}{t>0}) 是強度為 (lambda{0}>0) 的齊次泊松過程，({Y_{i}}{i=1,2,cdots}) 是獨立同分布的隨機變量序列，并且假設 (Y{i}) 服從參數為 (lambda_{Y}) 的指數分布?；緟翟O置為：(lambda_{0}=1)，(lambda_{Y}=1)，(pi_{2}(0)=0)。描述了交易成本水平 (Lambda) 對均衡投資策略的影響。在給定初始風險資產投資份額為 0 的情況下，交易成本水平越高，保險公司的投資增長率會越低。這是因為較高的交易成本水平會導致保險公司的投資收益下降，因此，在任意時刻 t，保險公司對風險資產的投資會越少。 展示了交易成本水平 (Lambda) 對均值 - 方差有效前沿的影響。

　　可以發現隨著交易成本水平的增大，有效前沿會降低。這是因為交易成本水平越高，保險公司的交易損失越大，投資收益會隨之降低。因此，當風險水平相同時，交易成本水平越高，保險公司獲得的期望收益會越低。也就是說，當終端財富方差相同時，交易成本水平越大，終端財富期望值越小。

　　5 結論

　　該文將交易成本和市場相關性同時引入到保險公司的最優風險控制與投資問題中。在動態均值 - 方差優化目標下，運用擴展的 HJB 方程進行求解，并在特殊情況下給出了均衡策略和相應值函數的顯式表達式。最后通過數值算例分別在單位風險過程沒有跳躍和無市場相關性這兩種情況下進行了靈敏性分析。結果表明，隨著交易成本水平和市場相關系數的增加，由于交易損失和系統風險的增大，資產增速會放緩。而且，當風險水平相同時，交易成本水平越高，保險公司獲得的期望收益會越低。此外，在實際中進行投資時往往會有各種限制，比如賣空限制，所以后續也可以考慮帶投資限制的情況。本文中參數均假設為確定性函數或常數，考慮到背景風險，在后續研究中，可以研究更一般的隨機參數情形，比如隨機利率、隨機波動率等。

王彥凱;彭幸春,武漢理工大學理學院,202405