1 問題提出

　　中國數學課程標準將增強學生解決問題的能力作為十分重要的課程目標，并提出了一些相關的教學建議 [1-2]。有研究發現，問題解決不僅可以幫助學生掌握數學概念與技能，還是一種有效的、能夠促進理解和知識意義建構的認知方式 [3]。于是，數學問題解決也被當作一種教學方式，即通過數學問題引入教學內容并通過問題解決達到學習新知識的目的 [4]。在此，數學問題解決的過程就是數學化的過程，學習者以問題為基礎，通過數學化來實現問題的解決，同時在問題解決的過程中，再創造 “自己的” 數學知識，從而實現數學化 [5]。不少研究者對這種教學的策略、設計和誤區進行了研究和綜述 [6-9]。另外還有一些研究者對數學問題解決策略的教學進行了探討 [10-11]。由此可見，數學問題解決教學存在一些不同的類型，包括為了問題解決的數學教學、通過問題解決的數學教學和關于數學問題解決的教學 [12]。

　　2020 年以來，新加坡頒布并實施了新的中小學數學教學大綱 [13-20](以下簡稱 “大綱”)。“大綱” 強調，數學課程的中心是發展數學問題解決能力，這里的問題包括 “需要更深刻的洞察、邏輯推理和創造性思維的復雜和非常規任務”。“大綱” 接著指出：“一般的問題解決策略，例如 Polya 的問題解決四步驟和啟發式的使用，對于幫助一個人系統有效地處理非常規任務非常重要。” 為此，“大綱” 在教學部分建議 “學生必須有機會解決非常規和不熟悉的問題，還必須學會如何系統地處理此類問題”。“大綱” 也建議 “評價應該關注學生應用所知解決問題的能力”，將 “能夠制定解決非常規問題的策略” 作為評價的主要目標應該聚焦的 4 個方面之一。為了體現 “大綱” 的要求，新加坡逐年編寫和出版了與之配套的數學教材。這些教材在欄目上有一些新的變化，比如初中 “新發現數學” 的普通學術類教材將 “問題解決過程和啟發式” 這個欄目的名稱改為 “問題解決任務”，且相關的內容呈現在各冊教材某些章的末尾，而不是在上冊教材的末尾出現。事實上，新加坡大綱和教材對數學問題解決的關注由來已久，這促使新加坡數學教育研究者對數學問題解決教學進行研究，而研究的重要成果也被 “大綱” 和教材采用。其中，比較有影響的是新加坡南洋理工大學國立教育學院數學與數學教育學術組現任負責人 Toh Tin Lam 主持的一項長達十余年的課題研究。在此，研究者試圖回答兩個問題：一是這項研究值得借鑒的地方有哪些?二是這項研究存在哪些不足之處?為此，研究者之一在博士生聯合培養期間，對相關的論文和專著進行了比較全面的收集、整理和分析。下面先對這項研究的背景、過程和各個階段的研究成果進行詳細闡述，最后得出有關結論，希望對中國開展這方面的研究有所助益。

　　2 研究背景

　　從 20 世紀 90 年代開始，新加坡就將數學問題解決確定為中小學數學課程的中心主題，課程的主要目的就是發展學生解決數學問題的能力。同時，數學問題解決也被認為是數學學習的中心，強調在非常規的、開放的、真實的問題情境中獲得和應用數學概念與技能。課程文件指出要在中小學數學課堂上教學數學問題解決的啟發式。于是，新加坡利用國外資源和當地開發的資源在教學問題解決上對教師提供職前準備或專業發展的機會。新加坡數學教師也意識到問題解決的重要性并將這些資源中的啟發式引入課堂。

　　然而，教師的問題解決教學只是在封閉問題中強化一些啟發式 [21]。另外，問題解決成為一種與常規數學內容教學相分離的活動，而且主要在一個主題學完之后實施，在此才能遇見 “挑戰性的問題”[22]。雖然國際比較研究 PISA 和 TIMSS 已經揭示新加坡在學校數學取得了很高的成就，但這些研究也注意到新加坡學生在解決不熟悉的問題上面相對較弱的表現。為了縮小新加坡課程愿景與實際的差距，課題組通過設計研究的方法對數學問題解決教學逐步進行設計、實施和改進。

　　3 研究過程與階段

　　整個研究的過程分成兩個階段：第一個階段是關于數學問題解決的教學，第二個階段是數學問題解決教學的融入和推廣。其中，第一個階段涉及到一個教師專業發展項目，第二個階段的 “融入” 包括通過數學問題解決的教學和為了數學問題解決的教學。

　　關于數學問題解決的教學，即在專門的課上教學數學問題解決的過程(含啟發式)。由于 “問題解決” 中的問題是學生不熟悉的問題或非常規問題，不同于練習，需要運用問題解決的過程才能更好、更快地解決，因此課題組認為有必要先用專門的課使學生從整體上了解這個過程。課題組成立之前，已有部分成員在一所初級學院或高中進行了相關的設計，并在實施之后不斷完善。2008 年課題組成立后，選擇了一所學生水平比較高的完全中學(初中四年，高中兩年，沒有中考)的八年級進行正式的設計研究。他們結合學校和學生的實際對之前的設計進行了一定的修改，在對教師進行培訓之后正式實施，并結合實施過程和效果進行修改，最后形成更新的設計。

　　基于對教師進行問題解決教學的困難的考察，在正式實施之前，課題組設計并實施了一個教師專業發展項目 [23]。他們一方面給予教師大量時間體驗和反思數學問題解決，讓教師 “認同” 數學問題解決的過程，并能自信地在自己的問題解決中嘗試使用。所選學校的教師參加了 5 次專業發展活動，每次 1.5 小時。課題組的一名成員對他們進行培訓，培訓的方式與上述關于數學問題解決的教學設計基本相同。另一方面，他們給予教師機會觀察如何開展關于數學問題解決的教學，并參與討論如何將其納入到自己的實踐中。同一名培訓師在 10 節 1 小時的課中對選擇的部分九年級學生進行關于數學問題解決的教學。教學內容與對教師進行培訓的內容相似，但節奏、語調和提出的用于討論的問題都得調整，以適應學生的需要。在觀察了第 1、3、5、6、8 和 10 節課之后，課題組與教師討論，特別關注問題的適用性、回應學生對這些問題的反應以及教師在隨后的實施中所需的調整。

　　數學問題解決教學的融入，即在常規課上進行數學問題解決的教學。數學問題解決教學的融入既可以出現在學習新的數學知識和技能的過程中，也可以出現在學習新內容之后，前者即通過數學問題解決的教學，后者即為了數學問題解決的教學。這兩類教學都有助于復習和擴展關于數學問題解決的教學。課題組同樣在融入之前進行了相關的設計，然后在上述同一所完全中學實施，并根據實施過程中出現的問題進行改進。

　　數學問題解決教學的推廣，即在主流學校(這里指四年制初中)開展數學問題解決的教學。在第一階段確認了關于數學問題解決的教學的可行性和有效性之后，課題組在一次由新加坡數學教師(超過 200 名)參與的研討會上展示了研究發現。有 13 所學校表示愿意參加推廣研究，最后確定在其中 3 所主流學校開展(從 2012 年開始)。課題組在推廣之前結合每所學校的實際對之前的設計作了必要的修改，特別是對部分問題進行了調整，然后同樣結合實施過程中出現的問題進行完善。

　　課題組認為任何數學問題解決的嘗試都需要一個問題解決者可以參考的模型，特別是當他 / 她不能取得滿意的進展的時候。好的問題解決者可能已經建立了他們自己的問題解決模型，然而一個明確的問題解決模型將是非常有用的。第一，沒有問題解決模型的人可能會發現一個模型有助于調節他們問題解決的嘗試;第二，即便是一個好的問題解決者也會發現較早介紹一個模型有助于其在數學發展上進步得更快。

　　為此，課題組將 Polya 的數學問題解決模型 [24] 作為設計的 “理論基礎” 之一。他們將該模型表示成下面的過程：理解問題、擬定計劃、執行計劃和檢查擴展，雖然是按先后順序但也是可以倒回去的。其中第四步的 “回顧” 被更名為 “檢查擴展”，包括檢查答案或解法的合理性、尋求該問題的其它更好的解法、改編(改變問題的某些特征，比如改變一些數，改變一些條件)、擴展(擴展到更 “困難” 或范圍更大的問題)和一般化(提出一個問題使得給定問題是其特例)，以更好地反映第四步的涵義。

　　該設計的另一個 “理論基礎” 是 Schoenfeld 的數學問題解決框架 [25]。Schoenfeld 提出了影響問題解決的 4 個方面的因素：資源、啟發式、控制、信念，他認為成功的問題解決不只是一些模型的運用，而至少是這 4 個因素的相互作用。

　　課題組在上述 “理論基礎” 上進行了關于數學問題解決的教學設計，下面是其中幾項主要的設計。

　　4 主要教學設計

　　4.1 課程設計

　　關于數學問題解決的教學共有 10 節數學實踐課，每節課 55 分鐘(或 1 個小時)。每節課都有特定的主題、具體的教學目標、任務和活動。為了有效達成教學目標，課題組建議教師首次上這種課的時候要盡量保證對每節課每個活動分配的時間。除第 1 節課和第 10 節課外，其它 8 節課大致分為兩個部分。在第一部分，處理上一節課的家庭作業(解決一個問題)，并解釋問題解決的某個方面，比如 Polya 模型中的某個階段。在第二部分，集中討論一個問題，即 “當天的問題”。因此，全班在每節課上只關注一個問題，且以兩個學生組隊進行合作解決。

　　4.2 實踐學習單與 4 板展示設計

　　根據課題組的經驗，學生一般不會運用 Polya 模型的 4 個步驟，也不會有意識地、有效地使用啟發式，甚至那些能夠解決給定問題的水平較高的學生一般也不會作出額外的努力去經歷第四步。為此，課題組仿照科學實踐課的做法，將問題解決課當作數學實踐課，設計了實踐學習單，要求學生使用它來解決問題 [26]。

　　實踐學習單最初由 4 頁組成，剛好與 Polya 的 4 個步驟相對應，各階段在各頁上的平均分布旨在強調每個階段同等重要 [27]。后來，課題組結合實際又將其調整為 3 頁，刪除了用于書寫的部分空間。

　　實踐學習單內容如下：

　　(問題)

　　理解問題

　　使用一些啟發式來幫助你，比如畫圖，重新表述問題，用合適的數。

　　我已經理解問題。(在下面畫圈)。

　　非常不同意… 同意… 非常同意 -1--2・3・--.4…-5+

　　你將進入下一頁得出一個解法或部分解法。

　　擬定和執行計劃

　　(1)清楚地陳述你的計劃，例如使用合適的數并尋找模式，找到所有小三角形的面積然后計算它們的比。

　　(2)給每個計劃編號，比如計劃 1，計劃 2，等等。

　　(3)執行陳述的計劃。

　　計劃 1(陳述計劃)：

　　執行計劃 1：

　　檢查擴展。

　　(1)檢查你的解法。

　　(2)寫下任何你能想到的其他解法。

　　(3)給出這個問題的一到兩個改編、擴展或一般化的問題。簡潔地解釋你的解決方案是否適用于它們。

　　實踐學習單將在學生解決非常規問題時引導他們經歷 Polya 的 4 個階段并使用啟發式。學生從第一頁開始，然后繼續下一頁，若有需要再倒回去。在對問題的解決進行了令人滿意的嘗試之后，再進入后一頁。學生直到完成最后一頁才被認為已完成任務，從而向他們表明在解決問題的過程中 “檢查擴展” 的重要性。

　　為了彌補實踐學習單在可視性上的不足，課題組后來結合教師的經驗設計了 4 板展示(four-panel presentation，4PP)，將白板分為 4 個部分，為 Polya 的每個階段分配一個部分。這樣設計的好處在于可以較好地展示問題解決的過程，尤其是倒回去的過程。

　　4.3 問題設計與選擇原則

　　對于問題集中的每個問題，課題組都設計了下面的板塊：要用到的啟發式，在 Polya 模型第一、二、四階段適當的提示，可以參考的對問題的改編、擴展和一般化，完整詳細的解法，預期的學生反應，評價注意事項 [28]。

　　意識到問題選擇的重要性，課題組制定了問題選擇的 4 條原則 [29]：一是問題對大多數學生(如果不是對所有學生)足夠有趣，使他們愿意嘗試解決問題;二是學生有足夠的 “資源” 來解決問題;三是內容范圍很重要，但解決問題所涉及的過程更重要;四是問題可以擴展和一般化。

　　根據這些原則，課題組會聽取學生和教師的意見對部分問題加以修改。比如對于問題 1：序列 1，2，3，…，10n–1 中所有數字的總和是多少?這個問題的解法需要用到數學歸納法，不適合八年級學生，于是被改為問題 2：序列 1，2，3，…，9999 中所有數字的總和是多少?在聽取學生的意見之后發現不滿足第一條和第二條原則，于是又被改成問題 3 的 “儲物柜問題”：新學校正好有 343 個儲物柜，編號從 1 到 343，而且正好有 343 名學生。開學第一天，學生們在大樓外會面，并就以下計劃達成一致。第一個學生將進入學校，打開所有的儲物柜。第二個學生將進入學校，關閉每個編號為偶數的儲物柜。第三個學生將編號為 3 的倍數的儲物柜 “倒轉” 一次，即如果儲物柜關閉，他將打開儲物柜，如果儲物柜打開，他將關閉儲物柜。第四個學生將編號為 4 的倍數的儲物柜 “倒轉” 一次，以此類推，直到所有 343 名學生依次進入大樓并倒轉相關儲物柜。哪些儲物柜最終會保持打開狀態?

　　4.4 教師支架設計

　　教師的作用是支持需要幫助的學生改進數學問題解決的過程，為此課題組提出 3 個教師支架的水平。只有水平 1 失敗了，才能給出水平 2，而且只有在時間緊迫的情況下才能給到最后一個水平。

　　4.5 評價體系設計

　　課題組認為此前在課堂上教學數學問題解決的嘗試少有成功的根源在于數學問題解決在學校課程中不被評價。由于不評價，學生和教師都沒有對數學問題解決及其過程給予足夠的重視。學生對課程中需要評價的部分更感興趣，為此，課題組設計了正式的評價體系，不僅評價結果，也評價問題解決的過程 [30]。研究表明，使這種評價體系成為學校評價的一部分將會使學生在課堂上投入更多努力 [31]。

　　10 節數學實踐課上完之后要進行評價，要求學生用 50 分鐘解決一個問題，成績占總分的 40%。成績的另外 60% 由 “當天的問題” 和家庭作業構成。前者是教師在每對學生中選一個問題和學生選一個自己做得最好的問題，后者是教師在每個學生中選一個問題和學生選一個自己做得最好的問題，每一項各占 15%。

　　評價標準關注在實踐學習單中強調的數學問題解決過程，包括 3 個方面。

　　(1)Polya 的階段：這個標準尋找使用 Polya 的階段的證據(在實踐學習單上顯示或由教師觀察到)。

　　(2)啟發式：這個標準尋找運用啟發式理解問題、擬定和執行計劃的證據。

　　(3)檢查擴展：這個標準尋找進行檢查擴展的證據。

　　上面呈現的主要設計是在完全中學實施之后逐步修改而成的，但在主流學校實施之后還會作必要的修改，以適合各學校的實際需求。

　　5 融入與推廣相關設計

　　5.1 融入常規課的 “替代單元” 設計

　　課題組認為數學問題解決的融入需要考慮眾多設計因素，比如問題的性質、學生對問題的認知和體驗等。一個關鍵的設計原則是幫助教師改進教學，為此需要選擇困難的主題或學生經常犯錯的概念來融入數學問題解決的教學。然而，在實施中發現教師遇到的一些挑戰，特別是有限的課堂教學時間與完成教學目標的矛盾。如果在課堂上用過多時間解決問題，就減少了完成其它教學目標的時間;如果將問題留作家庭作業，教師不能加以指導，水平較低的學生的動機就可能會下降。為了有效解決這個矛盾，課題組采用 “替代單元” 設計，對學習單元的結構進行調整。這種設計需要進行學習內容的重組和相關教學材料的開發，以適應問題解決的整合，但無需增加單元的學習時間，即只是結構上的改變。這樣，教師可以改變原來教學這個單元的方式，而不會對整個教學安排感到不安。

　　5.2 推廣設計及理論基礎

　　課題組在進行數學問題解決教學的推廣時，以 Rogers 的創新推廣理論 [32](theory of diffusion of innovations)作為設計的 “理論基礎”。Rogers 提出了 5 個影響創新推廣的因素：可觀察性、可試驗性、兼容性、復雜性和相對優勢。可觀察性是指創新產生預期結果的程度;可試驗性是指能夠進行創新試驗的程度;兼容性是指創新符合其價值觀、經驗和需求的程度;復雜性是指創新易于理解和使用的程度;相對優勢是指創新相對于目前的做法更好的程度 [33]。

　　新加坡的學校數學是以問題解決為中心，Polya 的模型也早已被使用。教師發現考試中有越來越多的非常規的問題，他們也發現之前采用的將非常規問題常規化的經常性的做法沒有可持續性，他們正在尋求可以替代的教學問題解決的途徑，因此課題組的設計已經具有很好的兼容性。為了保證可試驗性，課題組允許合作學校先選擇部分年級或部分班進行試驗，在取得成效之后再進一步推廣。為了實現可觀察性和相對優勢，減少復雜性成為了推廣設計的關鍵。為此，課題組提供必要的支持以培養教師理解設計和實施的能力，除了對教師進行培訓外，還發放指導手冊，分配課題組成員到每所學校參與觀察并與教師就一些復雜問題進行討論。

　　目前，新加坡數學問題解決教學的設計(或適當修改之后的設計)已在很多其它學校 [34](甚至職前教師的數學課上)開展，這說明該設計具有較好的可行性和可持續性。教師對采用這種設計非常認同，也很有信心，學生也在嘗試使用實踐學習單并取得了問題解決的成功，不少學生還在 Polya 模型的第四步上取得了很大的進步 [35]。

　　6 研究結論與啟示

　　綜上所述，新加坡這項研究值得借鑒的地方主要有 3 個方面。

　　一是通過數學問題解決教學促進學生在解決非常規或不熟悉的數學問題上的表現。這是新加坡進行這項研究的最終目的。與新加坡的情況類似，中國學生在解決非常規或不熟悉問題的能力也亟待提高。他們在做有固定程序的練習題的時候往往比較熟練，可是在遇見不熟悉的問題時，有些學生甚至不能動筆在紙上試一試。不少學生發現沒有現成的步驟可以套用的時候，往往無可奈何或等待老師提供解法。

　　二是采用了設計研究的路徑對數學問題解決教學逐步進行設計、實施和改進。課題組也明確說明采用這種研究路徑是因為其允許滿足學校的特定要求和條件，同時，研究者也會強加一些嚴格的設計。這種路徑提倡對教育設計進行 “實施 - 研究 - 精致” 的迭代方法，這對于處理基于學校的創新很有潛力 [36]。從上面的介紹也可以發現，無論是關于數學問題解決的教學，還是數學問題解決教學的融入和推廣，都是根據設計研究的路徑開展研究。國內有學者對設計研究進行了專門介紹，發現其在中國數學教育研究中的應用還十分薄弱 [37]。

　　三是數學問題解決教學的設計主要圍繞數學問題解決過程(含啟發式)。從第一階段的設計(包括教學計劃、實踐學習單、問題集、教師支架和評價體系)來看，設計的核心是學習 Polya 提出的數學問題解決過程(含啟發式)，先用專門的課使學生從整體上了解這個過程，然后融入常規課對這個過程進行復習和擴展。隨著新課程的推進，中國很多數學教師都力圖讓學生經歷數學問題解決的過程，給學生提供獨立思考和合作解決問題的機會。然而，也存在一些明顯的不足，比如缺少問題解決過程中的啟發和提示，缺少問題解決后的檢查擴展。由于數學問題解決耗時較多，不少教師往往不會給學生太多嘗試的時間，而且在得出一些解法之后就進行知識和技能的鞏固，致使學生的收獲大打折扣。因此，新加坡這項研究開發出的一些設計十分值得借鑒。

　　然而，這項研究存在以下兩點主要的不足之處。

　　一是數學問題解決教學的設計缺乏指導設計的理論基礎。雖然課題組提到關于數學問題解決的教學是以 Polya 的數學問題解決模型和 Schoenfeld 的數學問題解決框架作為 “理論基礎”，但通過上面的分析，可以發現這兩個 “理論基礎” 實際上是學生要學習的內容，并非整個設計的理論基礎。課題組也提到 Rogers 的創新推廣理論是進行推廣設計的理論基礎，這個理論提出的影響創新推廣的因素使課題組發現減少復雜性是推廣設計的關鍵，但缺少針對減少復雜性的設計的理論基礎。由于沒有堅實的理論基礎，課題組的有些設計僅僅是對經驗的借鑒，比如實踐學習單的設計就是仿照科學實踐課的做法。設計研究需要基于一定的理論基礎尤其是學習科學的理論進行設計，以提高設計的質量。

　　二是沒有充分提煉出數學問題解決教學的設計原則。設計原則是啟發性的描述，它為解決問題提供了基于經驗的建議 [38]。從上面的分析可以看到，課題組最后開發出了一系列設計，包括數學問題解決教學融入常規課的 “替代單元” 設計和推廣到主流學校的減少復雜性的設計。然而，這些具體的設計只是設計研究的成果之一，設計研究還應有理論上的成果，也就是設計原則。雖然課題組也總結了一些設計原則，比如上文提到的融入常態課是一個關鍵的設計原則，但還不夠充分。設計原則是設計特點的高度概括，有助于在其它類似的情境中開展進一步的研究，同時不斷改進設計和優化設計原則。上文提到的一些具體設計可能有些并不適合其它情境，比如在專門的課上進行關于數學問題解決的教學并且每節課 55 分鐘(或 1 個小時)就不適合中國的情況，實踐學習單需要過多的書寫可能在小學階段并不適用;如果能夠提煉出一些設計原則，就更有助于研究成果的推廣。中國數學教育研究者在參考新加坡這項研究的同時，應該基于設計研究的一般路徑，規避上述不足之處，以提高研究的質量和水平。

賀李;張春莉,北京師范大學教育學部,202403